Optimization Toolbox

비선형 최적화

Optimization Toolbox는 MATLAB에서 비선형 계획법 문제를 해결하는 데 널리 사용되는 최적화 알고리즘을 제공합니다. Toolbox에는 제약 및 비제약 비선형 최적화 문제 해결을 위한 Solver와 최소자승법 최적화 Solver가 포함되어 있습니다.

비제약 비선형 최적화

Optimization Toolbox는 다음 세 개의 알고리즘을 사용하여 비제약 비선형 최소화 문제를 해결합니다:

  • Quasi-Newton 알고리즘은 헤시안 행렬의 근사치를 업데이트하기 위해 혼합된 2차 및 3차 선 검색 절차와 BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) 공식을 사용합니다.
  • Nelder-Mead(또는 downhill simplex) 알고리즘은 함수 값만 사용하며(도함수 필요 없음) nonsmooth 목적함수를 처리하는 직접 검색 알고리즘입니다. Global Optimization Toolbox는 도함수가 필요 없는, 비선형 최적화용 알고리즘을 추가로 제공합니다.
  • trust-region 알고리즘은 비제약 비선형 문제에 사용되며 희소 또는 구조를 이용할 수 있는 대규모 문제에 특히 유용합니다.
Unconstrained nonlinear programming used to search an engine performance map for peak efficiency.
최고 효율의엔진 성능 맵 검색을 위해 비제약 비선형 최적화 사용

제약 비선형 최적화

제약 비선형 최적화 문제는 선형 또는 비선형 목적함수로 구성되어 있고 선형 및 비선형 제약을 받을 수 있습니다. Optimization Toolbox는 다음 4개의 알고리즘을 사용하여 이러한 문제를 해결합니다.

  • Interior-point 알고리즘은 일반 비선형 최적화에 사용됩니다. 희소 또는 구조를 이용할 수 있는 대규모 문제에 특히 유용하며 사용자 정의 목적함수 및 제약함수 평가 실패에도 문제가 없습니다. 이 알고리즘은 barrier 함수를 바탕으로 하며, 선택적으로 최적화 실행 과정에서 한계에 따라 모든 반복을 엄격하게 유지합니다.
  • SQP 알고리즘은 일반 비선형 최적화에 사용됩니다. 이는 모든 반복에서 한계를 적용하며 사용자 정의 목적함수 및 제약함수 평가 실패에도 문제가 없습니다.
  • active-set 알고리즘은 일반 비선형 최적화에 사용됩니다.
  • trust-region reflective 알고리즘은 한계 제약 문제 또는 선형 등식에만 사용됩니다. 이 알고리즘은 특히 대규모 문제에 유용합니다.

interior point 및 trust-region reflective 알고리즘을 사용하면 다양한 접근법을 통해 헤시안 행렬을 예측할 수 있습니다.

interior point 알고리즘의 경우 다음을 통해 헤시안 행렬을 예측할 수 있습니다.

  • BFGS(밀집)
  • 제한 메모리 BFGS(대규모 문제)
  • Hessian-multiply 함수
  • Actual Hessian(희소 또는 밀집)
  • 증감의 유한 차이(희소 구조에 대해 알 필요 없음)

trust-region reflective 알고리즘의 경우 다음을 사용할 수 있습니다.

  • 증감의 유한 차이, 헤시안의 희소 구조
  • Actual Hessian(희소 또는 밀집)
  • Hessian-multiply 함수

또한, interior-point 및 trust-region reflective 알고리즘을 사용하면 헤시안 행렬을 명확히 작성하지 않아도 함수로 헤시안과 벡터의 곱을 계산할 수 있습니다.

Constrained nonlinear programming used to design an optimal suspension system.
제약 비선형 최적화를 사용한 서스펜션 시스템 최적 설계
다음: 선형 및 이차 계획법

평가판 사용 Optimization Toolbox

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MATLAB/Simulink를 이용한 자동차 Active Safety System 개발 및 검증

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