spline

spline을 사용하여 균일하지 않은 간격의 샘플 점에서 사인 곡선을 보간합니다.

x = [0 1 2.5 3.6 5 7 8.1 10];
y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)

끝점 기울기가 알려진 경우 경사를 고정시킨 완전한 스플라인 보간을 사용합니다. 이를 위해 시작 부분과 끝부분에 각각 하나씩 두 개의 추가 요소를 가진 값 벡터 $\mathit{y}$를 지정하여 끝점 기울기를 정의할 수 있습니다.

데이터로 구성된 벡터 $\mathit{y}$를 만들고 데이터의 $\mathit{x}$ 좌표를 갖는 또 다른 벡터를 만듭니다.

x = -4:4;
y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];

spline을 사용하여 데이터를 보간하고 결과를 플로팅합니다. 두 개의 값이 추가된 [0 y 0]을 두 번째 입력값을 지정하여 끝점 기울기가 모두 0이 되도록 합니다. ppval을 사용하여 보간 구간 내의 101개 점에서 스플라인 피팅의 값을 구합니다.

cs = spline(x,[0 y 0]);
xx = linspace(-4,4,101);
plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');

데이터 세트를 외삽하여 인구 증가를 예측합니다.

1900년부터 1990년까지의(t) 인구 조사와 대응하는 미국 인구 수(p)를 표현하는(단위: 백만 명) 두 개의 벡터를 생성합니다.

t = 1900:10:1990;
p = [ 75.995  91.972  105.711  123.203  131.669 ...
     150.697 179.323  203.212  226.505  249.633 ];

3차 스플라인을 사용하여 2000년의 인구를 외삽하고 예측합니다.

spline(t,p,2000)

ans = 270.6060

원의 플롯을 o로 표시된 5개의 데이터 점 y(:,2),...,y(:,6)과 함께 생성합니다. 행렬 y에는 x보다 두 개 더 많은 열이 포함되어 있습니다. 따라서, spline은 y(:,1)과 y(:,end)를 끝점 기울기로 사용합니다. 원은 점 (1,0)에서 시작하고 끝나기 때문에, 점 (1,0)이 두 번 플로팅됩니다.

x = pi*[0:.5:2]; 
y = [0  1  0 -1  0  1  0; 
     1  0  1  0 -1  0  1];
pp = spline(x,y);
yy = ppval(pp, linspace(0,2*pi,101));
plot(yy(1,:),yy(2,:),'-b',y(1,2:5),y(2,2:5),'or')
axis equal

스플라인을 사용하여 미세한 메시를 통해 함수를 샘플링합니다.

0과 1 사이의 몇 개 값에 대해 사인 곡선과 코사인 곡선을 생성합니다. 스플라인 보간을 사용하여 미세한 메시를 통해 함수를 샘플링합니다.

x = 0:.25:1;
Y = [sin(x); cos(x)];
xx = 0:.1:1;
YY = spline(x,Y,xx);
plot(x,Y(1,:),'o',xx,YY(1,:),'-')
hold on
plot(x,Y(2,:),'o',xx,YY(2,:),':')
hold off

두 개의 다른 데이터 세트에 대해 spline, pchip, makima에서 생성된 보간 결과를 비교합니다. 이들 함수는 모두 다양한 형태의 조각별 3차 에르미트 보간을 수행합니다. 각각의 함수는 보간 함수의 기울기를 계산하는 방법이 다르므로, 기본 데이터에 평탄 영역이나 요동이 있을 때 다양한 동작이 나타납니다.

평탄 영역을 연결하는 샘플 데이터에 대한 보간 결과를 비교합니다. x 값, 해당 점에서의 함수 값 y, 쿼리 점 xq로 구성된 벡터를 만듭니다. spline, pchip, makima를 사용하여 쿼리 점에서 보간을 계산합니다. 비교를 위해 쿼리 점에서 보간된 함수 값을 플로팅합니다.

x = -3:3; 
y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; 
xq1 = -3:.01:3;
p = pchip(x,y,xq1);
s = spline(x,y,xq1);
m = makima(x,y,xq1);
plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.',xq1,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima','Location','SouthEast')

이 경우, pchip과 makima는 오버슈트를 피하고 평탄 영역을 정확하게 연결할 수 있다는 점에서 비슷하게 동작합니다.

진동 샘플 함수를 사용하여 두 번째 비교를 수행합니다.

x = 0:15;
y = besselj(1,x);
xq2 = 0:0.01:15;
p = pchip(x,y,xq2);
s = spline(x,y,xq2);
m = makima(x,y,xq2);
plot(x,y,'o',xq2,p,'-',xq2,s,'-.',xq2,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima')

기본 함수가 진동 함수인 경우 국소 극값 근처에서 과감하게 평탄화되는 pchip보다 spline과 makima가 점 사이의 움직임을 포착하는 능력이 더 우수합니다