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hypergeom

설명

예제

hypergeom(a,b,z)일반화된 초기하 함수를 나타냅니다.

예제

숫자형 인수 및 기호 인수에 대한 초기하 함수

hypergeom은 입력값이 부동소수점인지 기호인지에 따라 부동소수점 또는 기호 결과를 반환합니다.

다음 숫자에 대해 초기하 함수를 계산합니다. 이러한 숫자는 부동소수점이므로 hypergeom은 부동소수점 결과를 반환합니다.

A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
     hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
     hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]
A =
  -1.2174 - 0.8330i   1.2091 + 0.0000i  -0.2028 + 0.2405i

sym을 사용하여 적어도 하나의 입력값을 기호 형식으로 변환하여 정확한 기호 결과를 반환합니다. 대부분의 기호 입력값(즉, 정확한 입력값)에 대해 hypergeom은 계산되지 않은 기호 호출을 반환합니다.

symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
        hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
        hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]
symA =
[ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]

vpa를 사용하여 기호 결과를 고정밀도 부동소수점으로 변환합니다.

vpa(symA)
ans =
[ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,...
 1.2090631887094273193917339575087,...
 - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]

초기하 함수의 특수값

hypergeom이 특정 입력값에 대해 특수값을 반환함을 보여줍니다.

syms a b c d x
hypergeom([], [], x)
ans =
exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans =
exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans =
1/(1 - x)^a

초기하 함수는 0에서 항상 1임을 보여줍니다.

syms a b c d
hypergeom([a b], [c d], 0)
ans =
1

처음 두 개의 인수에서 동일한 파라미터를 상쇄한 후에 위쪽 파라미터 목록에 0이 포함되는 경우, 결과로 얻게 되는 초기하 함수는 값이 1인 상수입니다. 자세한 내용은 알고리즘 항목을 참조하십시오.

hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans =
1

처음 두 개의 인수에서 동일한 파라미터를 상쇄한 후에 위쪽 파라미터가 아래쪽 파라미터에 있는 가장 큰 음의 정수보다 큰 음의 정수를 포함하는 경우, 초기하 함수는 다항식입니다.

hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans =
(3*x^2)/5 - 2*x + 1

초기하 함수는 특정 입력값에서 또 다른 특수 함수가 됩니다.

hypergeom([1], [a], x)
hypergeom([a], [a, b], x)
ans =
(exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2)
 
ans =
 x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))

초기하 함수를 포함하는 표현식 처리하기

diff, taylor와 같은 여러 기호 함수는 hypergeom을 포함하는 표현식을 처리할 수 있습니다.

초기하 함수를 포함하는 다음 표현식을 미분합니다.

syms a b c d x
diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans =
(a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)...
 - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2

이 초기하 함수의 테일러 급수를 계산합니다.

taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans =
(2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1

입력 인수

모두 축소

초기하 함수의 위쪽 파라미터로, 숫자, 변수, 기호 표현식, 기호 함수 또는 기호 벡터로 지정됩니다.

초기하 함수의 아래쪽 파라미터로, 숫자, 변수, 기호 표현식, 기호 함수 또는 기호 벡터로 지정됩니다.

입력값으로, 숫자, 벡터, 행렬, 배열로 지정되거나 기호 숫자, 기호 변수, 기호 배열, 기호 함수, 기호 표현식으로 지정됩니다.

세부 정보

모두 축소

일반화된 초기하 함수

차수가 p, q인 일반화된 초기하 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,,aj,,ap;b1,,bk,,bq;z)=n=0((a1)n(aj)n(ap)n(b1)n(bk)n(bq)n)(znn!).

여기서 a = [a1,a2,...,ap]b = [b1,b2,...,bq]는 각각 길이가 p와 q인 벡터입니다.

(a)k(b)k는 포흐하머 기호입니다.

빈 벡터 a와 b에 대해 hypergeom은 다음과 같이 정의됩니다.

F0q(;b;z)=k=01(b1)k(b2)k(bq)k(zkk!)Fp0(a;;z)=k=0(a1)k(a2)k(ap)k(zkk!)F00(;;z)=k=0(zkk!)=ez.

포흐하머 기호

(x)n=Γ(x+n)Γ(x).

n이 양의 정수이면 (x)n = x(x + 1)...(x + n - 1)입니다.

알고리즘

초기하 함수는 다음과 같습니다.

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,,aj,,ap;b1,,bk,,bq;z)=n=0((a1)n(aj)n(ap)n(b1)n(bk)n(bq)n)(znn!).

  • 초기하 함수의 수렴 조건은 다음과 같습니다.

    • p ≤ q이고 |z| < ∞이면 수렴합니다.

    • p = q + 1이고 |z| < 1이면 수렴합니다. |z| >= 1의 경우, 급수가 발산하며, 해석적 연속에 의해 정의됩니다.

    • p > q + 1이고 z ≠ 0이면 발산합니다. 여기서 급수는 z = 0을 중심으로 하는 pFq(a;b;z)의 점근적 전개에 의해 정의됩니다. 분지 절단은 양의 실수축입니다.

  • 양이 아닌 정수인 aj가 하나라도 있으면 함수는 초기하 다항식이라고 하는 다항식이 됩니다.

  • 다음과 같은 경우에 함수는 정의되지 않습니다.

    • aj가 양이 아닌 정수이면서 bk > aj을 만족하는 양이 아닌 정수 bk가 하나라도 있는 경우. 이유는 0에 의한 나눗셈이 발생하기 때문입니다.

    • 양이 아닌 정수인 bk가 하나라도 있고 양이 아닌 정수인 aj가 하나도 없는 경우

  • 위쪽 파라미터 값과 아래쪽 파라미터 값이 같아서 상쇄되면 함수의 차수가 줄어듭니다. 위쪽 파라미터와 아래쪽 파라미터의 r 값이 동일하면(즉, a = [a1,…,ap - r, c1,…,cr], b = [b1,…,bq - r, c1,…,cr]이면) pFq(a;b;z)의 차수 (p, q)(p - r, q - r)로 줄어듭니다.

    Fpq(a1,,apr,c1,,cr;b1,,bqr,c1,,cr;z)=Fprqr(a1,,apr;b1,,bqr;z)

    이 규칙은 0이거나 음의 정수인 ci가 있는 경우에도 적용됩니다 [2].

  • pFq(a;b;z)는 대칭입니다. 즉, a의 차수 a1, a2, … 또는 b의 차수 b1, b2, …에 의존하지 않습니다.

  • U(z)=Fpq(a;b;z)는 z의 미분 방정식을 충족합니다.

    [δ(δ+b1)z(δ+a)]U(z)=0,  δ=zz.

    여기서 (δ + a)는 다음을 나타냅니다.

    i=1p(δ+ai).

    (δ + b)는 다음을 나타냅니다.

    j=1q(δ+bj).

    따라서 이 미분 방정식의 차수는 max(p, q + 1)이고, 초기하 함수는 그 해 중 하나에 불과합니다. p < q + 1인 경우, 이 미분 방정식은 z = 0에서 정칙 특이점을 갖고 z = ∞에서 비정칙 특이점을 갖습니다. p = q + 1인 경우, 점 z = 0, z = 1, z = ∞는 정칙 특이점으로, 이는 초기하 급수의 수렴 속성을 설명합니다.

  • 초기하 함수는 다음과 같은 특수값을 갖습니다.

    • pFp(a;a;z) = 0F0(;;z) = ez.

    • 위쪽 파라미터 목록 a가 아래쪽 파라미터 목록 b보다 더 많은 0을 포함하는 경우 pFq(a;b;z) = 1.

    • pFq(a;b;0) = 1.

참고 문헌

[1] Oberhettinger, F. “Hypergeometric Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

[2] Luke, Y.L. "The Special Functions and Their Approximations", Vol. 1, Academic Press, New York, 1969.

[3] Prudnikov, A.P., Yu.A. Brychkov, and O.I. Marichev, "Integrals and Series", Vol. 3: More Special Functions, Gordon and Breach, 1990.

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