적분

정적분

$$[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$$에서 $$f(x)=sin(x)$$의 정적분 $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$는 0임을 보여줍니다.

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)

ans = $$0$$

최댓값과 최솟값에서 정적분

$$a\ge 0$$일 때 $$F(a)={\int }_{-a}^a\sin (ax)\sin (x/a)dx$$를 최대화하려면 먼저 기호 변수를 정의하고 $$a\ge 0$$이라고 가정합니다.

syms a x
assume(a >= 0);

그런 다음, 최대화할 함수를 정의합니다.

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}1-\frac{\sin \left(2\right)}{2}& \text{ if }a=1\\ \frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}& \text{ if }a\ne 1\end{array}$$

여기서 $$a=1$$의 특수한 경우에 유의하십시오. 계산을 더 쉽게 하기 위해 assumeAlso를 사용하여 이 가능성을 무시합니다(그리고 $$a=1$$이 최댓값이 아닌지 나중에 확인하겠습니다).

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}$$

$$F$$의 플롯을 생성하여 형태를 확인합니다.

fplot(F,[0 10])

diff를 사용하여 $$a$$에 대해 $$F$$의 도함수를 구합니다.

Fa = diff(F,a)

Fa = 
$$\begin{array}{l}\frac{2\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{a^4-1}+\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+2\hspace{0.17em}{a}^3\hspace{0.17em}\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}-\frac{8\hspace{0.17em}{a}^4\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{{\left(a^4-1\right)}^2}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\end{array}$$

$$Fa$$의 0 값들은 $$F$$의 국소 극값입니다.

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

최댓값은 1과 2 사이입니다. vpasolve를 사용하여 다음 구간에서 $$Fa$$의 0의 근삿값을 구합니다.

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])

a_max = $$1.5782881585233198075558845180583$$

subs를 사용하여 적분의 최댓값을 구합니다.

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max = $$0.36730152527504169588661811770092\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)+1.2020566879911789986062956284113\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)$$

결과에는 여전히 정확한 숫자 $$\sin (1)$$과 $$\cos (1)$$이 포함됩니다. vpa를 사용하여 이러한 숫자를 수치 근사로 바꾸십시오.

vpa(F_max)

ans = $$1.2099496860938456039155811226054$$

제외된 사례 $$a=1$$로 인해 더 큰 값이 도출되지 않는지 확인합니다.

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))

ans = $$0.54535128658715915230199006704413$$

다중 적분

고차원 영역에 대한 수치 적분에는 특수 함수가 있습니다.

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)

ans = 4.0127e-19

고차원 기호 적분에는 그러한 특수 함수가 없습니다. 대신 중첩 1차원 적분을 사용하십시오.

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)

ans = $$0$$

선적분

3차원 공간에서 벡터장 F를 정의합니다.

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

다음으로, 곡선을 정의합니다.

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

곡선 u에서 F의 선적분은 $$\int f\cdot du=\int f(ux(t),uy(t),uz(t))\cdot \frac{du}{dt}dt$$로 정의됩니다. 여기서 우변의 $$\cdot$$는 스칼라 곱을 나타냅니다.

이 정의를 사용하여 $$[0,1]$$에서 $$t$$에 대한 선적분을 계산합니다.

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)

F_int = 
$$\frac{19\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)}{4}-\frac{\cos \left(3\right)}{108}-12\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+\frac{\sin \left(3\right)}{27}+\frac{395}{54}$$

이 정확한 결과의 수치 근사를 구합니다.

vpa(F_int)

ans = $$-0.20200778585035447453044423341349$$