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베이불(Weibull) 분포

개요

베이불 분포는 2-모수 곡선족입니다. 이 분포는 재료의 파괴 강도 모델링에 적절한 분석 도구로서 이 분포를 제안한 발로디 베이불(Waloddi Weibull)의 이름에서 따왔습니다. 현재, 신뢰도 및 수명 모델링에도 사용되고 있습니다. 지수 분포는 일정한 위험 함수를 가지고 있기 때문에 이러한 목적을 위한 경우라면 베이불 분포가 지수 분포보다 유연합니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 베이불 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

  • 확률 분포를 표본 데이터에 피팅하거나(fitdist) 모수 값을 지정하여(makedist) 확률 분포 객체 WeibullDistribution을 생성합니다. 그런 다음 객체 함수를 사용하여 분포를 실행하고, 난수를 생성하는 등의 작업을 수행합니다.

  • 분포 피팅기 앱을 사용하여 대화형 방식으로 베이불 분포를 사용합니다. 앱에서 객체를 내보내고 객체 함수를 사용할 수 있습니다.

  • 분포 전용 함수(wblcdf, wblpdf, wblinv, wbllike, wblstat, wblfit, wblrnd, wblplot)를 지정된 분포 모수와 함께 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 베이불 분포의 모수를 받을 수 있습니다.

  • 일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('Weibull') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

Statistics and Machine Learning Toolbox 함수는 아래 모수와 함께 2-모수 베이불 분포를 사용합니다.

모수설명지원
a 스케일a > 0
b형태b > 0

표준 베이불 분포는 단위 스케일을 가집니다.

베이불 분포는 세 번째 모수를 가질 수 있습니다. 3-모수 베이불 분포는 2-모수의 경우 0인 위치 모수를 추가합니다. X가 2-모수 베이불 분포를 가지면 Y = X + c는 위치 모수 c가 추가된 3-모수 베이불 분포를 가집니다. 자세한 내용은 Three-Parameter Weibull Distribution 항목을 참조하십시오.

모수 추정

가능도 함수는 모수의 함수로 표시되는 확률 밀도 함수(pdf)입니다. 최대가능도 추정값(MLE)은 x의 고정 값에 대해 가능도 함수를 최대화하는 모수 추정값입니다. 베이불 분포에 대한 ab의 최대가능도 추정량은 동시 방정식의 해입니다.

a^=[(1n)i=1nxib^]1b^b^=n(1a^)i=1nxib^logxii=1nlogxi.

âb^는 모수 ab의 무편향 추정량입니다.

베이불 분포를 데이터에 피팅하고 모수 추정값을 구하려면 wblfit, fitdist 또는 mle를 사용합니다. 모수 추정값을 반환하는 wblfitmle와 달리, fitdist는 피팅된 확률 분포 객체 WeibullDistribution을 반환합니다. 객체 속성 ab는 모수 추정값을 저장합니다.

예제는 베이불 분포를 데이터에 피팅하고 모수 추정하기 항목을 참조하십시오.

확률 밀도 함수

베이불 분포의 pdf는 다음과 같습니다.

f(x|a,b)={ba(xa)b1e(x/a)bif x0,0if x<0.

예제는 베이불 분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

베이불 분포의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

p=F(x|a,b)=0xbabtb1e(ta)bdt=1e(xa)b.

결과 p는 모수 a 및 b를 갖는 베이불 분포에서 하나의 관측값이 구간 [ x]에 속할 확률입니다.

예제는 베이불 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

역누적 분포 함수

베이불 분포의 역 cdf는 다음과 같습니다.

x=F1(p|a,b)=a[ln(1p)]1/b.

결과 x는 모수 a 및 b를 갖는 베이불 분포에서 한 관측값이 확률 p로 범위 [0 x]에 속하는 값입니다.

위험 함수

위험 함수(순간실패율)는 pdf의 비율과 cdf의 보수입니다. f(t)와 F(t)가 분포의 pdf와 cdf이면 위험률은 h(t)=f(t)1F(t)입니다. 위의 f(t)와 F(t)를 지수 분포의 pdf와 cdf로 대체하면 함수 babxb1가 생성됩니다.

예제는 지수 분포와 베이불 분포의 위험 함수 비교하기 항목을 참조하십시오.

예제

베이불 분포를 데이터에 피팅하고 모수 추정하기

스케일 모수 값이 0.5이고 형태 모수 값이 2인 베이불 분포를 사용하여 얇은 필라멘트의 인장 강도 데이터를 시뮬레이션합니다.

rng('default');                  % For reproducibility
strength = wblrnd(0.5,2,100,1);  % Simulated strengths

베이불 분포 모수에 대한 MLE와 신뢰구간을 계산합니다.

[param,ci] = wblfit(strength)
param = 1×2

    0.4768    1.9622

ci = 2×2

    0.4291    1.6821
    0.5298    2.2890

추정된 스케일 모수는 0.4768이고, 95% 신뢰구간 (0.4291,0.5298)입니다.

추정된 형태 모수는 1.9622이고, 95% 신뢰구간 (1.6821,2.2890)입니다.

각 모수에 대한 디폴트 신뢰구간은 실제 값을 포함합니다.

베이불 분포 pdf 계산하기

스케일(A) 모수 및 형태(B) 모수의 다양한 값에 대한 베이불 분포의 pdf를 계산하고 플로팅합니다.

x = linspace(0,30);
plot(x,wblpdf(x,10,1),'DisplayName','A=10, B=1')
hold on
plot(x,wblpdf(x,10,2),'DisplayName','A=10, B=2')
plot(x,wblpdf(x,10,4),'DisplayName','A=10, B=4')
plot(x,wblpdf(x,10,0.5),'DisplayName','A=10, B=0.5')
plot(x,wblpdf(x,10,0.25),'DisplayName','A=10, B=0.25')
plot(x,wblpdf(x,5,1),'DisplayName','A=5, B=1')
hold off
legend('show')
xlabel('x')
ylabel('pdf')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel x, ylabel pdf contains 6 objects of type line. These objects represent A=10, B=1, A=10, B=2, A=10, B=4, A=10, B=0.5, A=10, B=0.25, A=5, B=1.

값 B=1이면 지수 분포가 생성됩니다. 값 B<1의 경우는 x가 0에 가까워짐에 따라 무한대에 가까워지는 밀도를 갖습니다. 값 B>1의 경우는 x가 1에 가까워짐에 따라 0에 가까워지는 밀도를 갖습니다.

베이불 분포 cdf 계산하기

스케일(A) 모수 및 형태(B) 모수의 다양한 값에 대한 베이불 분포의 cdf를 계산하고 플로팅합니다.

x = linspace(0,30);
plot(x,wblcdf(x,10,1),'DisplayName','A=10, B=1')
hold on
plot(x,wblcdf(x,10,2),'DisplayName','A=10, B=2')
plot(x,wblcdf(x,10,4),'DisplayName','A=10, B=4')
plot(x,wblcdf(x,10,0.5),'DisplayName','A=10, B=0.5')
plot(x,wblcdf(x,10,0.25),'DisplayName','A=10, B=0.25')
plot(x,wblcdf(x,5,1),'DisplayName','A=5, B=1')
hold off
legend('show','Location','southeast')
xlabel('x')
ylabel('cdf')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel x, ylabel cdf contains 6 objects of type line. These objects represent A=10, B=1, A=10, B=2, A=10, B=4, A=10, B=0.5, A=10, B=0.25, A=5, B=1.

지수 분포와 베이불 분포의 위험 함수 비교하기

지수 분포는 일정한 위험 함수를 가지며, 이는 일반적으로 베이불 분포에는 해당되지 않습니다. 이 예제에서 베이불 분포의 위험률은 연수가 높아질수록 증가합니다(타당한 가정 사항).

스케일 모수 값이 1이고 형태 모수 값이 2인 베이불 분포에 대한 위험 함수를 계산합니다.

t = 0:0.1:4.5;
h1 = wblpdf(t,1,2)./(1-wblcdf(t,1,2));

스케일 모수 값이 1이고 형태 모수 값이 2인 베이불 분포의 평균을 계산합니다

mu = wblstat(1,2)
mu = 0.8862

평균 mu를 갖는 지수 분포에 대한 위험 함수를 계산합니다.

h2 = exppdf(t,mu)./(1-expcdf(t,mu));

동일한 축에 두 위험 함수를 모두 플로팅합니다.

plot(t,h1,'-',t,h2,'--')
xlabel('Observation')
ylabel('Hazard Rate')
legend('Weibull','Exponential','location','northwest')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Hazard Rate contains 2 objects of type line. These objects represent Weibull, Exponential.

관련 분포

  • 지수 분포 — 지수 분포는 모수 μ(평균)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. 이 분포는 수명 모델링에도 사용됩니다. b = 1인 경우, 베이불 분포는 평균이 μ = a인 지수 분포와 같습니다.

  • Extreme Value Distribution — 극값 분포는 모수 µ(위치) 및 σ(스케일)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. X가 모수 a 및 b를 갖는 베이불 분포를 가지면 로그 X는 모수가 µ = log a이고 σ = 1/b인 극값 분포를 가집니다. 이러한 관계는 베이불 분포에 데이터를 피팅하는 데 사용됩니다.

  • 레일리(Rayleigh) 분포 — 레일리 분포는 모수 b(스케일)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. AB가 베이불 분포의 모수이면 모수 b를 갖는 레일리 분포는 모수가 A=2b이고 B = 2인 베이불 분포와 같습니다.

참고 문헌

[1] Crowder, Martin J., ed. Statistical Analysis of Reliability Data. Reprinted. London: Chapman & Hall, 1995.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Forbes, Catherine, Merran Evans, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 4th ed. Wiley, 2010.

[4] Lawless, Jerald F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2003.

[5] Meeker, William Q., and Luis A. Escobar. Statistical Methods for Reliability Data. Wiley Series in Probability and Statistics. Applied Probability and Statistics Section. New York: Wiley, 1998.

참고 항목

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관련 항목