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카이제곱 분포

개요

카이제곱(χ2) 분포는 1-모수 곡선족입니다. 카이제곱 분포는 일반적으로 가설검정, 특히 피팅의 적합도에 대한 카이제곱 검정에 사용됩니다.

Statistics and Machine Learning Toolbox™에서는 다음과 같이 카이제곱 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

  • 지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(chi2cdf, chi2inv, chi2pdf, chi2rnd, chi2stat)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 카이제곱 분포의 모수를 받을 수 있습니다.

  • 일반 분포 함수(cdf, icdf, pdf, random)를 지정된 분포 이름('Chisquare') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

카이제곱 분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수설명지원
nu(ν)자유도ν = 1, 2, 3,...

자유도 모수는 일반적으로 정수이지만, 카이제곱 함수는 임의의 양수 값을 받습니다.

자유도 ν1과 ν2를 갖는 두 카이제곱 확률 변수의 합은 자유도가 ν = ν1 + ν2인 카이제곱 확률 변수입니다.

확률 밀도 함수

카이제곱 분포의 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같습니다.

y=f(x|ν)=x(ν−2)/2e−x/22ν2Γ(ν/2),

여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다.

예제는 카이제곱 분포 pdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

누적 분포 함수

카이제곱 분포의 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

p=F(x|ν)=∫0xt(ν−2)/2e−t/22ν/2Γ(ν/2)dt,

여기서 ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 p는 자유도가 ν인 카이제곱 분포에서 단일 관측값이 구간 [0, x]에 속할 확률입니다.

예제는 카이제곱 분포 cdf 계산하기 항목을 참조하십시오.

역누적 분포 함수

카이제곱 분포의 역누적 분포 함수(icdf)는 다음과 같습니다.

x=F−1(p|ν)={x:F(x|ν)=p},

여기서

p=F(x|ν)=∫0xt(ν−2)/2e−t/22ν/2Γ(ν/2)dt,

ν는 자유도이고 Γ( · )는 감마 함수입니다. 결과 p는 자유도가 ν인 카이제곱 분포에서 단일 관측값이 구간 [0, x]에 속할 확률입니다.

기술 통계량

카이제곱 분포의 평균은 ν입니다.

카이제곱 분포의 분산은 2ν입니다.

예제

카이제곱 분포 pdf 계산하기

라이브 스크립트 열기

자유도가 4인 카이제곱 분포의 pdf를 계산합니다.

x = 0:0.2:15;
y = chi2pdf(x,4);

pdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Probability Density contains an object of type line.

카이제곱 분포는 특히 자유도가 적은 경우 오른쪽으로 편향됩니다.

카이제곱 분포 cdf 계산하기

라이브 스크립트 열기

자유도가 4인 카이제곱 분포의 cdf를 계산합니다.

x = 0:0.2:15;
y = chi2cdf(x,4);

cdf를 플로팅합니다.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Observation, ylabel Cumulative Probability contains an object of type line.

관련 분포

  • F 분포 — F 분포는 모수 ν1(분자 자유도)과 ν2(분모 자유도)를 갖는 2-모수 분포입니다. F 분포는 F=χ12ν1χ22ν2 비율로 정의할 수 있습니다. 여기서 χ21과 χ22는 둘 다 자유도가 각각 ν1과 ν2인 카이제곱 분포입니다.

  • 감마 분포 — 감마 분포는 모수 a(형태)와 b(스케일)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. 카이제곱 분포는 2a = ν 및 b = 2인 감마 분포와 같습니다.

  • Noncentral Chi-Square Distribution — 비중심 카이제곱 분포는 모수 ν(자유도)와 δ(비중심성)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. 비중심 카이제곱 분포는 δ = 0인 경우 카이제곱 분포와 같습니다.

  • 정규분포 — 정규분포는 모수 μ(평균)와 σ(표준편차)를 갖는 2-모수 연속 분포입니다. μ = 0이고 σ = 1이면 표준 정규분포가 발생합니다.

    Z1, Z2, …, Zn이 표준 정규 확률 변수인 경우 ∑i=1nZi2은 자유도가 ν = n – 1인 카이제곱 분포를 갖습니다.

    관측값이 n개인 하나의 세트가 분산 σ2과 표본 분산 s2으로 정규분포되어 있는 경우 (n−1)s2σ2은 자유도가 ν = n – 1인 카이제곱 분포를 갖습니다. 이 관계는 함수 normfit에서 정규 모수 σ2의 추정값에 대한 신뢰구간을 계산하는 데 사용됩니다.

  • 스튜던트 t 분포 — 스튜던트 t 분포는 모수 ν(자유도)를 갖는 1-모수 연속 분포입니다. Z가 표준 정규분포를 갖고 χ2이 자유도가 ν인 카이제곱 분포를 갖는 경우 t = Zχ2/ν는 자유도가 ν인 스튜던트 t 분포를 갖습니다.

  • Wishart Distribution — 위샤트 분포는 카이제곱 분포와 유사하되 차원이 더 높은 분포입니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed., Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[4] Kreyszig, Erwin. Introductory Mathematical Statistics: Principles and Methods. New York: Wiley, 1970.

참고 항목

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관련 항목