상태공간 모델이란?

상태공간 모델의 정의

상태공간 모델은 상태 변수를 사용하여, 한 개 이상의 n계 미분 방정식 또는 차분 방정식 대신 1계 미분 방정식 또는 차분 방정식의 집합으로 시스템을 설명하는 모델입니다. 1계 미분 방정식의 세트가 상태 및 입력 변수에서 선형인 경우 모델을 선형 상태공간 모델이라고 합니다.

참고

일반적으로 System Identification Toolbox™ 문서에서는 선형 상태공간 모델을 단순히 상태공간 모델이라고 합니다. 그레이박스와 신경망 state-space 객체를 사용하여 비선형 상태공간 모델을 식별할 수도 있습니다. 자세한 내용은 Available Nonlinear Models 항목을 참조하십시오.

선형 상태공간 모델 구조는 단 한 개의 파라미터, 즉 모델 차수 n만 지정하도록 요구하기 때문에 신속한 추정이 필요할 때 선택하기 좋은 방법입니다. 모델 차수는 x(t)의 차원과 같은 정수이고, 대응하는 차분 방정식에 사용되는 지연된 입력과 출력의 개수와 관련이 있습니다(하지만 반드시 같을 필요는 없음). 상태 변수 x(t)는 측정된 입력-출력 데이터로부터 재구성할 수는 있지만, 실험에서 그 자체가 측정되지는 않습니다.

연속시간 표현

물리 법칙이 미분 방정식으로 가장 자주 설명되기 때문에, 보통 연속시간에서 파라미터화된 상태공간 모델을 정의하기가 더 쉽습니다. 연속시간에서 선형 상태공간 설명의 형식은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{l} \dot{x} (t) = F x (t) + G u (t) + \tilde{K} w (t) \\ y (t) = H x (t) + D u (t) + w (t) \\ x (0) = x 0 \end{array}$

행렬 F, G, H, D는 물리적으로 의미 있는 요소(예: 물질 상수)를 포함합니다. x0은 초기 상태를 지정합니다.

참고

$\tilde{K}$ = 0은 출력-오차 모델의 상태공간 표현을 제공합니다. 자세한 내용은 What Are Polynomial Models? 항목을 참조하십시오.

시간 영역 데이터와 주파수 영역 데이터를 모두 사용하여 연속시간 상태공간 모델을 추정할 수 있습니다.

이산시간 표현

대개 이산시간 선형 상태공간 모델 구조는 잡음을 설명하는, 다음과 같은 혁신 형식으로 작성됩니다.

$\begin{array}{l} x (k T + T) = A x (k T) + B u (k T) + K e (k T) \\ y (k T) = C x (k T) + D u (k T) + e (k T) \\ x (0) = x 0 \end{array}$

여기서 T는 샘플 시간이고, u(kT)는 시점 kT에서의 입력이고, y(kT)는 시점 kT에서의 출력입니다.

참고

K=0은 출력-오차 모델의 상태공간 표현을 제공합니다. 출력-오차 모델에 대한 자세한 내용은 What Are Polynomial Models? 항목을 참조하십시오.

이산시간 상태공간 모델에서 제공하는 입력과 출력 간 선형 차분 관계의 유형은 선형 ARMAX 모델의 유형과 동일합니다. 단, 이산시간 상태공간 모델은 표현식에 하나의 지연만 있도록 재배열됩니다.

연속시간 주파수 영역 데이터를 사용하여 이산시간 상태공간 모델을 추정할 수는 없습니다.

혁신 형식은 독립적인 공정 잡음과 측정 잡음이 아니라 단일 잡음원인 e(kT)를 사용합니다. 공정 잡음과 측정 잡음에 대한 사전 지식이 있는 경우, 선형 그레이박스 추정을 사용하여 구조화된 독립적인 잡음원이 있는 상태공간 모델을 식별할 수 있습니다. 자세한 내용은 Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptions 항목을 참조하십시오.

연속시간 상태 행렬과 이산시간 상태 행렬 간의 관계

이산시간 상태공간 행렬 A, B, C, D, K와 연속시간 상태공간 행렬 F, G, H, D, $\tilde{K}$ 간의 관계는 조각별 상수 입력을 위해 다음과 같이 지정됩니다.

$\begin{array}{l} A = e^{F T} \\ B = \int_{0}^{T} e^{F τ} G d τ \\ C = H \end{array}$

이러한 관계에서는 입력이 시간 구간 $k T \leq t < (k + 1) T$ 에서 조각별 상수라고 가정합니다.

K와 $\tilde{K}$ 사이의 정확한 관계는 복잡합니다. 하지만 짧은 샘플 시간 T 동안에는 다음과 같은 근사식이 효과적입니다.

$K = \int_{0}^{T} e^{F τ} \tilde{K} d τ$

전달 함수의 상태공간 표현

선형 모델의 경우 일반 모델 설명은 다음과 같이 지정됩니다.

$y = G u + H e$

G는 입력 u를 출력 y로 전달하는 전달 함수입니다. H는 가산식 출력 잡음 모델의 속성을 설명하는 전달 함수입니다.

전달 함수와 이산시간 상태공간 행렬 사이의 관계는 다음 방정식으로 지정됩니다.

$\begin{array}{l} G (q) = C (^{q I_{n x} - A) - 1} B + D \\ H (q) = C (^{q I_{n x} - A) - 1} K + I_{n y} \end{array}$

여기서 I_nx는 nxxnx 단위 행렬이고, nx는 상태의 개수입니다. I_ny는 nyxny 단위 행렬이고, ny는 y와 e의 차원입니다.

연속시간 사례에서 상태공간 표현도 이와 유사합니다.