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lyap

연속 랴푸노프 방정식 해

구문

lyap
X = lyap(A,Q)
X = lyap(A,B,C)
X = lyap(A,Q,[],E)

설명

lyap 는 랴푸노프 방정식의 특수 형식과 일반 형식을 풉니다. 랴푸노프 방정식은 안정성 이론, 시스템의 RMS 동작 연구와 같은 제어의 여러 분야에서 대두됩니다.

X = lyap(A,Q) 는 다음 랴푸노프 방정식을 풉니다.

AX+XAT+Q=0

여기서 A와 Q는 동일한 크기의 정사각 행렬을 나타냅니다. Q가 대칭 행렬인 경우 해 X도 대칭 행렬입니다.

X = lyap(A,B,C) 는 다음 실베스터 방정식을 풉니다.

AX+XB+C=0

행렬 A, B, C는 서로 호환되는 크기를 가져야 하나 정사각 행렬일 필요는 없습니다.

X = lyap(A,Q,[],E)는 다음 일반화된 랴푸노프 방정식을 풉니다.

AXET+EXAT+Q=0

여기서 Q는 대칭 행렬입니다. 이 함수에는 빈 대괄호 []을 사용해야 합니다. 괄호 안에 값을 넣으면 함수가 오류를 발생시킵니다.

제한 사항

연속 랴푸노프 방정식은 A의 고유값 α1,α2,...,αn과 B의 고유값 β1,β2,...,βn이 다음을 충족할 경우 유일한 해를 갖습니다.

αi+βj0forallpairs(i,j)

이 조건을 위반하는 경우 lyap는 다음 오류 메시지를 생성합니다.

Solution does not exist or is not unique.

예제

예제 1

랴푸노프 방정식 풀기

다음 랴푸노프 방정식을 풉니다.

AX+XAT+Q=0

여기서 각각은 다음과 같습니다.

A=[1234]Q=[3111]

A 행렬은 안정적이고 Q 행렬은 양의 정부호입니다.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)
위 명령은 다음 X 행렬을 반환합니다.
X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000
고유값을 계산하여 X가 양의 정부호인지 확인할 수 있습니다.

eig(X)

이 명령은 다음 결과를 반환합니다.

ans =

    0.4359
    8.7308

예제 2

실베스터 방정식 풀기

다음 실베스터 방정식을 풉니다.

AX+XB+C=0

여기서는 다음이 성립됩니다.

A=5B=[4343]C=[21]

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

위 명령은 다음 X 행렬을 반환합니다.

X =

   -0.2000   -0.0500

알고리즘

lyap는 랴푸노프 방정식의 경우 SLICOT 루틴 SB03MD 및 SG03AD를, 실베스터 방정식의 경우 SB04MD(SLICOT) 및 ZTRSYL(LAPACK)을 사용합니다.

참고 문헌

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

버전 내역

R2006a 이전에 개발됨

참고 항목

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